25-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Молдова, 2021 год

Для любого множества $A=\left\{x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right\}$, состоящего из пяти различных целых положительных чисел, обозначим через $S_{A}$ сумму его элементов, а через $T_{A}$ — количество троек $(i, j, k)$ с $1 \leqslant i < j < k \leqslant 5$, для которых $x_{i}+x_{j}+x_{k}$ делит $S_{A}$. Найдите наибольшее возможное значение $T_{A} .$

Комментарий/решение

Заметим, что сумма пары $x_m и x_n$, не содержащая $x_i,x_j и x_k$, делится на $x_i+x_k+x_k$. Пусть $x_1>x_2>x_3>x_4>x_5$, рассмотрим $4$ случая:

$1) x_1 и x_2$ входят в $x_i, x_j и x_k$, тогда $x_a+x_b$ делится на $x_1+x_2+x_c$, где $a, b, c \in (3,4,5)$, но $x_1+x_2+x_c>x_a+x_b$, противоречие

2) входит $x_1$, тогда $x_2+x_a$ делится на $x_1+x_b+x_c, \Rightarrow x_a=x_3$, сохраним этот вариант

3) входит $x_2$, тогда

$i) x_1+x_3$ делится на $x_2+x_4+x_5$

$ii) x_1+x_4$ делится на $x_2+x_3+x_5$

$iii) x_1+x_5$ делится на $x_2+x_4+x_3$

4) Не входят ни $x_1$, ни $x_2$, тогда $x_1+x_2$ делится на $x_3+x_4+x_5$

Заметим, что все 5 случаев не могут выполняться одновременно, так как, иначе, из 2) и 3): iii) получаем, что $x_2+x_3-x_4$ делится на $x_2+x_3+x_4$, противоречие.

Пример для 4: $x_1=494, x_2=4, x_3=3, x_4=2, x_5=1$

Поучаствовал на Олимпиаде и знаешь решение, а потом кидаешь его первым. Ля ты мышь. Деее қалжын ғой. 8 сынып болып (мен оны бүгінге дейін білмедім), респадан абсолют 5 жане юниорскийден 3орын алу үшін мықты болу керек, МАЛАДЕЦ

да, рахмет, маған мында пример жетіспей қалған(( JBMO-да сасқалақтап қалдым, келесісінде, надеюсь, жақсы жазатын шығармын.

аххахаха, орнул с коммента.

ну а так да, дамир красавчик, в след году на джбмо жду золото :D

Добавлю решение в лоб.

Получается,

$А = x_1+x_2+x_3+x_4+x_5$ делится на $B = x_a+x_b+x_c$.

Пусть $x_1<x_2...<x_5$

И

$x_a<x_b<x_c$.

Очевидно $10 \ge T_A$

Уберем очевидные случаи

c=5

b=4

-3 случая.

c=5

b=3

-2 случая. Теперь у нас два варианты:

$1)x_5 \ge x_3+x_4$

$2)x_5<x_3+x_4$

Заметим, что оба варианта убирают по одному случаю

$1)T_A=x_5+x_2+x_1$

$2)T_A=x_3+x_4+x_2$

В обеих случаях противоречие. Спасибо Дамиру за пример для 4.

P.s. везде там применено то, что минимальный делитель числа не равный ему меньше его половины