Международная олимпиада 2021, Санкт-Петербург, Россия, 2021 год

Дана окружность $\Gamma$ с центром $I$. Выпуклый четырёхугольник $ABCD$ таков, что каждый из отрезков $AB,$ $BC,$ $CD$ и $DA$ касается $\Gamma.$ Пусть $\Omega$ — описанная окружность треугольника $AIC.$ Продолжение отрезка $BA$ за точку $A$ пересекает $\Omega$ в точке $X,$ продолжение отрезка $BC$ за точку $C$ пересекает $\Omega$ в точке $Z$. Продолжения отрезков $AD$ и $CD$ за точку $D$ пересекают $\Omega$ в точках $Y$ и $T$ соответственно. Докажите, что $AD + DT + TX + XA = CD + DY + Y Z + ZC.$

Комментарий/решение

Докажем что:

$$TX=ZY$$

$I$ инцентр $ABCD$

Из чего $AI$ биссектриса $\angle DAB$

Из чего \[\angle IZX = \angle IAB = \angle IAD = \angle IAY\]

Значит хорды $IX=IY$

Из чего $Y$ симметрично $X$ относительно $OI$

Следовательно\[TX = YZ\]

Теперь докажем что

\[AD + DT + XA = CD + DY + ZC\]

$P, Q, N, M$ касательные к окружности $\Gamma$ сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно

$$AD = AM + MD = AP + ND$$

$$AD + DT + XA = AP + ND + DT + XA = XP + NT$$

Аналогично

$$CD + DY + ZC = ZQ + YM$$

Осталь доказать что\[XP + NT = ZQ + YM\]

Проведем еще одну касательную $XJ$ к окружности $\Gamma$ тпкую что точки $J, P$ различны

Так как $X$ и $Y$ симметричны получим что $XJ$ и $YM$ также является симметричными

Следовательно \[XP = XJ = YM\]

Аналогично получим что $NT = ZQ$

Из чего \[XP + NT = ZQ + YM\]

Что и требовалось доказать