Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2021-2022 учебный год, I тур дистанционного этапа

Найдите все такие тройки положительных чисел $a, b, c,$ что $a+b+c = ab+ac+bc = abc.$ ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Таких чисел не существует.
Решение. Первое решение. Поделив равенство $ab+ac+bc = abc$ на $abc$, получим $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = 1,$ откуда $a > 1,$ $b > 1,$ $c > 1.$ Но тогда $ab > a,$ $ac > c,$ $bc > b$ и $ab+ac+bc > a+b+c.$
Решение. Второе решение. Если верно равенство из условия, то верно и равенство $(ab+ac+bc)^2 = abc(a+b+c).$ Но после раскрытия скобок и приведения подобных членов из него получается равенство, где в одной части — положительная величина, а в другой — 0, что невозможно.
Решение. Третье решение. Заметим, что для любых положительных $x$, $y$ и $z$ выполнено неравенство $$(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) = (x^2+y^2)/2+(y^2+z^2)/2+(z^2+x^2)/2+2(xy+yz+zx) \ge 3(xy+yz+zx).$$ Полагая $x = ab,$ $y = bc,$ $z = ca,$ получаем $(ab+bc+ca)^2 \ge 3abc(a+b+c),$ что противоречит условию.

Умножив 1 и 3, и приравняв к квадрату второго, вы получите что числа не больше 0.

Соответсвенно противоречие.

таких чисел не существует