Областная олимпиада по математике, 2022 год, 10 класс

В остроугольном треугольнике $ABC$ сторона $AC$ наибольшая. Окружность $\omega_1$ с центром в точке $A$ и радиусом $AB$ пересекает сторону $BC$ в точке $F$. Окружность $\omega_2$ с центром в точке $C$ и радиусом $CB$ пересекает сторону $AB$ в точке $E$. Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ вторично пересекаются в точке $D$. Прямая, параллельная $EF$ и проходящая через $B$, вторично пересекает окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ в точках $G$ и $T$ соответственно. Докажите, что $GT=DF+DE$. ( С. Полянских )

Комментарий/решение

$\angle ABD=a, \angle CBD=b$

$\angle ABF= \angle AFB= \angle CEB=a+b$

$\angle BAF=180-2a-2b=2 \angle BDF$

$\angle BDF=90-a-b$

Аналогично $\angle BDE=90-a-b$

$\angle EDF=\angle EDB + \angle BDF=180-2a-2b= \angle ECF= \angle BAF$

Соответственно, $A, E, F, C, D$ лежат на одной окружности

$\angle EFB=\angle EAC=\angle FBT=90-a$

$\angle BTD=90-b$ ++ $BT||EF => EB||TD => ED=BT => $

Аналогично $GB=DF$

Каким образом $A,E,F,C,B$ на одной окружности если $A,E,B$ на одной прямой?

Ввел новую геометрию.