Республиканская олимпиада по математике, 2022 год, 10 класс


Дан многочлен $P(x)$ 699-й степени с положительными целыми коэффициентами, причем $P(1) \leqslant 2022$. Докажите, что найдутся несколько подряд идущих коэффициентов, сумма которых равна 22, 55 или 77.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   6
2022-04-24 23:07:56.0 #

Решение: Пусть $a_1,…,a_{700}$ его коэффициенты. Сделаем замену

$$s_i=a_1+…+a_{i},\forall i=1,…,700.$$

Тогда $0<s_1<…<s_{700}\le 2022.$

Рассмотрим числа вида $s_i,s_i+22, s_i+77,$ их $2100$, причем каждое из них натуральное число которое не превосходит $2099,$ т.е. разность некоторых $s_i$ будет принадлежать $\{22,55,77\},$ откуда легко следует утверждение задачи.

  1
2023-01-24 19:32:43.0 #

как сделать черный шрифт ,просто у вас слово "решение" с черным шрифтом

  7
2022-04-28 08:39:10.0 #

Это баян