4-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 1 тур

В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AK$ и $BM$. Найдите углы этого треугольника, если известно, что $AK=BM=AB$

Комментарий/решение

Угол BAK=Angle KAC=Y

Угол ABM=Angle MBC=X

AK=AB => Угол ABC=Угол AKB

AB=BM => Угол BAC=Угол BMA

Сумма уголов треугольника BMA=4Y+X=180

Cумма уголов треугольника BAK=4X+Y=180

X=Y => 5X=180 => X=36

Угол BAC= Угол CBA=72

Угол ACB=36

Решение: Как мы видим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle AKB$ - равнобедренные.

Тогда у нас выходит то что $4y+x=4x+y=180^\circ \Rightarrow x=y \Rightarrow 5x=5y=180 \Rightarrow x=y=36^\circ$

Тогда ответ: $\angle A=\angle B=72^\circ, а \angle C=36^\circ$