Математикадан облыстық олимпиада, 2003-2004 оқу жылы, 10 сынып


Санның бүтін бөлігін табыңыз: $\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\ldots+\dfrac{1}{\sqrt{2003}+\sqrt{2004}}$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
2016-05-12 23:28:01.0 #

Рассмотрим последовательность слагаемых в этой сумме. Друг от друга они отличаются на приблизительно одинаковые числа, поэтому это $ почти$ арифметическая последовательность. А из этого следует, чтобы приблизительно узнать сумму ее, сложим первое и последнее слагаемые, поделим эту сумму напополам, умножим на количество слагаемых. Получается $(\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2003}+\sqrt{2004}})×0.5×1002=213,1175$ ,из чего следует, что целая часть этого выражения 213

пред. Правка 2   2
2016-05-15 06:28:37.0 #

Ответ к этой задаче 22. Чтобы дроби образовывали А.Ф, соседние дроби должны отличаться на какое-то число. А находя приблизительную разницу, Вы найдете приблизительный ответ. А нужен точный. Воспользуйтесь формулой $\dfrac{1}{\sqrt n + \sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$.

пред. Правка 2   0
2021-05-16 14:23:23.0 #

Можете дать решение, пожалуйста? У меня вышло, что сумма больше $21,888$, но меньше чем $22,373$, дальше нет продвижения

  0
2021-05-16 15:48:19.0 #

Очевидно что его решение не правильно

  0
2021-05-22 00:55:44.0 #

Саратовские математические олимпиады. 1950/51–1994/95. №982 есепті қарап көріңіз.

  1
2021-05-22 01:36:12.0 #

из саратова я знаю только майонез

  0
2021-05-22 19:36:30.0 #

Рахмет, бірақ мына есепте квадрат сан емес қой 2004

  1
2021-10-09 20:13:03.0 #

Почтаңды жазып жібер.

  1
2022-02-28 13:28:40.0 #

Nurlanov_D1208@pvl.nis.edu.kz

  1
2022-02-28 13:30:23.0 #

Лучше поздно чем никогда

  0
2022-02-28 16:27:31.0 #

лмао

  2
2022-03-01 16:59:13.0 #

Решение же уже есть(

  4
2021-12-24 17:17:15.0 #

Оценка вниз

$$A = \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{2003} + \sqrt{2004}}$$

$$B = \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{2004} + \sqrt{2005}}$$

$$A + B = \sqrt{2005} - \sqrt{1}$$

$$A = \frac{A - B}{2} + \frac{A + B}{2} > \frac{\sqrt{2005} - \sqrt{1}}{2} + \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} - \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}})$$ так как разность остальных членов больше 0

$$A > \frac{\sqrt{2005} - \sqrt{1}}{2} + \frac{1}{2}(2\sqrt{2} + 2\sqrt{4} - 2\sqrt{3} - \sqrt{1} -\sqrt{5})$$

Осталось показать, что $\frac{\sqrt{2005} - \sqrt{1}}{2} + \frac{1}{2}(2\sqrt{2} + 2\sqrt{4} - 2\sqrt{3} - \sqrt{1} -\sqrt{5}) > 21 \iff \sqrt{2005} - 1 + 2\sqrt{2} + 4 - 2\sqrt{3} - 1 - \sqrt{5} > 42 \iff \sqrt{2005} + 2\sqrt{2} > 40 + 2\sqrt{3} \iff 2005 + 4\sqrt{4010} + 8 > 1600 + 160\sqrt{3} + 12 \iff 401 > 160\sqrt{3} - 4\sqrt{4010} \iff 160801 > 76800 - 1280\sqrt{12030} + 64160 \iff$

$$19841 > - 1280\sqrt{12030}$$

Оценка вверх

$$A - B = \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} - (\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}}) - \ldots - (\frac{1}{\sqrt{2002} + \sqrt{2003}} - \frac{1}{\sqrt{2003} + \sqrt{2004}}) - \frac{1}{\sqrt{2004} + \sqrt{2005}} < \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} < 1$$

$$A = \frac{A - B}{2} + \frac{A + B}{2} < \frac{\sqrt{2005} - \sqrt{1}}{2} + \sqrt{1}{2} = \frac{\sqrt{2005}}{2} < \frac{\sqrt{2025}}{2} < \frac{45}{2} < 23$$

  1
2023-04-04 18:25:02.0 #

Мұнда жерде $21<A<23$ екені дәлелденген. Бұл есептің жауабы емес.