Областная олимпиада по математике, 2004 год, 10 класс

Найдите целую часть числа $ \dfrac{1} {{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1} {{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + \dfrac{1} {{\sqrt 5 + \sqrt 6 }} + \dots + \dfrac{1} {{\sqrt {2003} + \sqrt {2004} }}. $

Комментарий/решение

Рассмотрим последовательность слагаемых в этой сумме. Друг от друга они отличаются на приблизительно одинаковые числа, поэтому это $ почти$ арифметическая последовательность. А из этого следует, чтобы приблизительно узнать сумму ее, сложим первое и последнее слагаемые, поделим эту сумму напополам, умножим на количество слагаемых. Получается $(\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2003}+\sqrt{2004}})×0.5×1002=213,1175$ ,из чего следует, что целая часть этого выражения 213

Ответ к этой задаче 22. Чтобы дроби образовывали А.Ф, соседние дроби должны отличаться на какое-то число. А находя приблизительную разницу, Вы найдете приблизительный ответ. А нужен точный. Воспользуйтесь формулой $\dfrac{1}{\sqrt n + \sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$.

Можете дать решение, пожалуйста? У меня вышло, что сумма больше $21,888$, но меньше чем $22,373$, дальше нет продвижения

Очевидно что его решение не правильно

Саратовские математические олимпиады. 1950/51–1994/95. №982 есепті қарап көріңіз.

из саратова я знаю только майонез

Рахмет, бірақ мына есепте квадрат сан емес қой 2004

Почтаңды жазып жібер.

[e-mail]

Лучше поздно чем никогда

лмао

Решение же уже есть(

Оценка вниз

$$A = \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{2003} + \sqrt{2004}}$$

$$B = \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{2004} + \sqrt{2005}}$$

$$A + B = \sqrt{2005} - \sqrt{1}$$

$$A = \frac{A - B}{2} + \frac{A + B}{2} > \frac{\sqrt{2005} - \sqrt{1}}{2} + \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} - \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{5}})$$ так как разность остальных членов больше 0

$$A > \frac{\sqrt{2005} - \sqrt{1}}{2} + \frac{1}{2}(2\sqrt{2} + 2\sqrt{4} - 2\sqrt{3} - \sqrt{1} -\sqrt{5})$$

Осталось показать, что $\frac{\sqrt{2005} - \sqrt{1}}{2} + \frac{1}{2}(2\sqrt{2} + 2\sqrt{4} - 2\sqrt{3} - \sqrt{1} -\sqrt{5}) > 21 \iff \sqrt{2005} - 1 + 2\sqrt{2} + 4 - 2\sqrt{3} - 1 - \sqrt{5} > 42 \iff \sqrt{2005} + 2\sqrt{2} > 40 + 2\sqrt{3} \iff 2005 + 4\sqrt{4010} + 8 > 1600 + 160\sqrt{3} + 12 \iff 401 > 160\sqrt{3} - 4\sqrt{4010} \iff 160801 > 76800 - 1280\sqrt{12030} + 64160 \iff$

$$19841 > - 1280\sqrt{12030}$$

Оценка вверх

$$A - B = \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} - (\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}}) - \ldots - (\frac{1}{\sqrt{2002} + \sqrt{2003}} - \frac{1}{\sqrt{2003} + \sqrt{2004}}) - \frac{1}{\sqrt{2004} + \sqrt{2005}} < \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} < 1$$

$$A = \frac{A - B}{2} + \frac{A + B}{2} < \frac{\sqrt{2005} - \sqrt{1}}{2} + \sqrt{1}{2} = \frac{\sqrt{2005}}{2} < \frac{\sqrt{2025}}{2} < \frac{45}{2} < 23$$

Мұнда жерде $21<A<23$ екені дәлелденген. Бұл есептің жауабы емес.