5-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 2 тур

В таблице $n\times n$ числами от 1 до $n$ пронумерованы строки — сверху вниз, а столбцы — слева направо. В любой клетке на пересечении строки с номером $k$ и столбца с номером $m$ записали число $m+k.$ Затем клетки таблицы покрасили в шахматном порядке так, что верхняя слева клетка имеет черный цвет. После от суммы чисел во всех черных клетках отняли сумму чисел во всех белых клетках. Чему равна полученная разность, если
   a) $n=2021;$ б) $n=2022?$

Комментарий/решение

Давайте рассмотрим способ разбиения таблицы на строки. Посчитаем сумму разниц пар из белых и черных клеток.

-- Четная n

Вначале рассмотрим таблицы с четным n. Каждая пара дает разность -1. Суммируем и получаем -n/2. Теперь следующая строка будет начинаться с белой клетки. Теперь разность в паре будет 1. Суммируем и получаем n/2. Теперь сумма этих двух строк будет 0! То есть полученная разность в таблицы с четным n будет 0.

б)0

--Нечетная n

Теперь в таблице с нечетным n все посложнее, но не будем усложнять до того, что будем тоже такой способ использовать. Просто выделим из всей таблицы еще одну таблицу, только с четным n. Останется одна строка и один столбец с общей клеткой которая равна n*2. Применим метод пар как в четной таблицы и не будем трогать общую клетку. Получится сумма разностей -n+1. Теперь прибавим к этому общую клетку. Получится n+1.

а)2021+1=2022