5-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6-7 класс, 3 (командный) тур

Можно ли 100 гирь массами 1, 2, 3, $\ldots$, 99, 100 разложить на 10 кучек разной массы так, чтобы выполнялось условие: чем тяжелее кучка, тем меньше в ней гирь?

Комментарий/решение

Ответ: Нет

Доказательство: Допустим можно.

По методу Гаусса сумма масс всех гирь = 5050

Пусть тогда в самой тяжелой кучке будет 5 гирь:

100 + 99 + 98 + 97 + 96 = 490 (метод Гаусса)

Но в самой тяжелой кучке должно быть > 505 (5050/10). Противоречие

Значит в самой тяжелой кучке будет 6 гирек

Тогда в остальных кучках будет >6 гирек

Во 2 кучке минимум будет 7, в 3 8 гирь. Тогда в последней кучке будет 15 гирь.

6 + 7 + 8 + ... + 15 = 105 (метод Гаусса)

Но всего гирь 100. Противоречие.