Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2021-2022 учебный год, III тур дистанционного этапа

Два числа таковы, что их сумма, сумма их квадратов и сумма их кубов равны одному и тому же числу $m$. Докажите, что сумма четвёртых степеней этих чисел тоже равна $m$. ( И. Рубанов )

Комментарий/решение

по ФСУ: $a^3 + b^3 = (a + b)(a ^ 2 - ab + b^2)$

$a^3 + b^3 = (a + b)(a ^ 2 - ab + b^2) = m = m(m - ab)$;

$m = m(m - ab)$ : такое возможно только при $m = 0$ или $m = ab + 1$

1) $m = 0$: Случай тривиален, $a = 0$ и $b = 0$, $a ^ 4 + b ^ 4 = 0$

2) $m = ab + 1$: $ab = m - 1$, $m ^ 2 = (a^3 + b^3)(a + b) = a ^ 4 + b ^ 4 + a ^ 3 b + b ^ 3 a = a ^ 4 + b ^ 4 + ab(a ^ 2 + b ^ 2) = a ^ 4 + b ^ 4 + m(m - 1)$

$a ^ 4 + b ^4 + m ^ 2 - m = m ^ 2$ =>

$a ^ 4 + b ^ 4 = m$, что и требовалось доказать.

Симметрияны пайдалансақ:

$\left\{\begin{matrix}x+y=m\\x^2+y^2=m\\x^3+y^3=m\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}x+y=a\\xy=b\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}x+y=m\\x^2+y^2=m\\x^3+y^3=m\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}a=m\\a^2-2b=m\\a^3-3ab=m\end{matrix}\right.$

$m^2+2b=m \Rightarrow b=\frac{m^2}{2}-\frac{m}{2}$

$m^3-3m(\frac{m^2}{2}-\frac{m}{2})=m \Rightarrow m^3-3m^2+2m=0.$

$m(m^2-3m+2)=0, m=0, m=1, m=2.$

$1) m=0, x=0, y=0 $ болады $0+0=0.$

$2) m=1, x=1, y=0 $ немесе $x=0, y=1$ болады. $1+0=1, 0+1=1$

$3) m=2, x=1, y=1$ болады. $1^4+1^4=2.$