Районная олимпиада, 2012-2013 учебный год, 8 класс

Известно, что для вещественных чисел $a$, $b$, $c$ справедливо равенство $(a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)$. Докажите, что $a=b=c$.

Комментарий/решение

$(a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)$

$a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$

Применив неравенство Коши, получим следующие неравенства:

$\cfrac{a^2+b^2}{2} \geqslant ab$, $\cfrac{b^2+c^2}{2} \geqslant bc$, $\cfrac{c^2+a^2}{2} \geqslant ca$.

Сложив полученные неравенства, имеем:

$a^2+b^2+c^2 \geqslant ab+bc+ca$, где равенство выполняется при $a=b=c$.

Уравнение $(a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)$ можно преобразовать в вид $\dfrac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2}=0$. Откуда понятно, что это верно при $a=b=c$.

Шешуі: \((a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 3(ab + bc + ca)\), яғни \(a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca\), демек \(a = b = c\).