Республиканская юниорская олимпиада по математике. Районный этап. 2018-2019 учебный год. 7 класс.

Дана стопка из 2024 карточек, на которых написаны числа $1^2$, $2^2$, $\ldots$, $2024^2$ (по одному на каждой карточке). Алибек и Нурсултан по очереди (начинает Алибек) берут карточки из стопки. После того, как ребята разберут все карточки, Алибек считает сумму чисел на своих карточках. Цель Алибека — сделать так, чтобы эта сумма делилась на 4. Цель Нурсултана — помешать Алибеку. Сможет ли Нурсултан это сделать?

Комментарий/решение

Заметим, есть 1012 четных и нечетных чисел.

Пусть Нурлан будет ходить идентично Алибеку, в итоге у Алибека в конце будет (506 нечетных и 506 четных чисел, используя факт что любое четное число в квадрате делится на 4, а любое нечетное оставляет остаток 1 по модулю 4, понятно что Алибек получил число с остатком 506 по модулю 4, что не делится на 4.)

Нурлану удалось обхитрить Алибека.