Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2018-2019 учебный год. 7 класс.

Все натуральные числа раскрасили в два цвета: белый и черный. Известно, что сумма любых двух различных белых чисел также является белым числом. Кроме того, сумма любых двух черных чисел также является черным числом. Сколько различных раскрасок, удовлетворяющих этому условию, существует?

Комментарий/решение

Ответ: 1

Допустим что число 1 белого цвета, тогда 2 либо белое либо черное

Если допустить что число 2 белое тогда и все последующие числа тоже белые, но в множестве должно быть хотя бы одно число, то есть хотя бы одно черное число

Тогда покрасим 2 в черный. Также берем 3 как черный, тогда:

5 черный и 4 белый по скольку сумма различных черных не может равнятся 4ем

Но тогда 5 белый поскольку $$1 + 4 = 5$$

Противоречие

Тогда 3 тоже белый, значит все последующие числа тоже

Решение аналогично если взять 1 как черный

Ответ::$4$.

Пусть первое черное, тогда есть два случая, два это белое или черное. Если два это черное, то и три и четыре и тд все черные, такое невозможно.

Если два это белое это опять два случая, три белое или черное. Если три это черное, то четыре черное и все остальное тоже, это первый случай. Если три это белое, то пять, семь и все нечетные кроме единицы белые. Рассмотрим два последовательных нечетных чисел, они белые, а число посередине тоже белое, если бы было черным то это число + единица было бы черным, противоречие. Это вторая раскраска, один черное и остальное все белое. Значит раскрасок $2*2$ (ибо один может быть белым).