Областная олимпиада по математике, 2005 год, 9 класс


Решите в целых числах уравнение $ 19x^2+28y^2=729. $
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   -3
2018-12-26 12:09:38.0 #

  1
2018-12-21 10:26:20.0 #

Допустим у=-1. Тогда 27-$\sqrt{28}$ не будет отрицательной,что и опровергает ваше утверждение. Думаю что вы указали неверное решение.

  2
2018-12-21 10:55:05.0 #

Решение.

19$x^2$ + 28$y^2$ = 19$x^2$ + 19$y^2$ + 9$y^2$ = $3^6$

19($x^2$ + $y^2$) = $3^6$ - 9$y^2$

19($x^2$ + $y^2$) = 9($3^4$ - $y^2$)

19 не делится на 9, значит $x^2$ + $y^2$ должно делится на 9, но это возможно только при том что х и у делятся на 3.То есть $x^2$ и $y^2$ $\geq$ 9. При х=3 и у=3, 19$\times$9 + 28$\times$9 < 729.

9 $\times$ $6^2$ + 28$\times$9 > 729. То есть только при минимальном х и у 19$x^2$ + 28$y^2$<729. Ну а если хотя бы один из их будет равняться 3к где к $\geq$ 2 или -2$\geq$к , то 19$x^2$ + 28$y^2$>729. То есть уравнение не имеет корней при целых х и у.

  2
2021-01-16 11:20:49.0 #

По модули 3, оба числа оставляют 0 или 2 в сумме, а 729 делится на 3.

Значит рассматриваем по числам делящихся на 3, это либо 3, либо 6, ибо 9^2=81 81*19>729

По подбору, не найдено никаких удовлетворяющих значении х и у таковых

  1
2021-05-03 19:43:27.0 #

Бұл есеп келесі кітаптарда кездеседі:

1. Н. В. Горбачёв. Сборник олимпиадных задач по математике

1. И. Л. Бабинская. Задачи математических олимпиад.