Областная олимпиада по математике, 2005 год, 9 класс

Решите в целых числах уравнение $ 19x^2+28y^2=729. $

Комментарий/решение

Допустим у=-1. Тогда 27-$\sqrt{28}$ не будет отрицательной,что и опровергает ваше утверждение. Думаю что вы указали неверное решение.

Решение.

19$x^2$ + 28$y^2$ = 19$x^2$ + 19$y^2$ + 9$y^2$ = $3^6$

19($x^2$ + $y^2$) = $3^6$ - 9$y^2$

19($x^2$ + $y^2$) = 9($3^4$ - $y^2$)

19 не делится на 9, значит $x^2$ + $y^2$ должно делится на 9, но это возможно только при том что х и у делятся на 3.То есть $x^2$ и $y^2$ $\geq$ 9. При х=3 и у=3, 19$\times$9 + 28$\times$9 < 729.

9 $\times$ $6^2$ + 28$\times$9 > 729. То есть только при минимальном х и у 19$x^2$ + 28$y^2$<729. Ну а если хотя бы один из их будет равняться 3к где к $\geq$ 2 или -2$\geq$к , то 19$x^2$ + 28$y^2$>729. То есть уравнение не имеет корней при целых х и у.

По модули 3, оба числа оставляют 0 или 2 в сумме, а 729 делится на 3.

Значит рассматриваем по числам делящихся на 3, это либо 3, либо 6, ибо 9^2=81 81*19>729

По подбору, не найдено никаких удовлетворяющих значении х и у таковых

Красивое и понятное решение

Бұл есеп келесі кітаптарда кездеседі:

1. Н. В. Горбачёв. Сборник олимпиадных задач по математике

1. И. Л. Бабинская. Задачи математических олимпиад.

Можно записать так:

$$18x^2+27y^2+x^2+y^2=729\Rightarrow x^2+y^2 \equiv 0 \pmod {9}\Rightarrow x^2 \equiv 0 \pmod {9};y^2 \equiv 0 \pmod {9}.$$

Если $x,y \equiv 0 \pmod {3}$ то пусть $x=3a;y=3b$.

Но тогда $19a^2+28b^2=81\Rightarrow a;b \equiv 0 \pmod {3}.$Но тогда не будет решений на это уравнение.А значит такие $x,y$ не существуют