Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2019-2020 учебный год. 8 класс.

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ выполнено равенство $CD-AB=BC$. Внешняя биссектриса угла $B$ и внутренняя биссектриса угла $C$ пересекаются в точке $M$. Докажите, что $MA=MD$.

Комментарий/решение

$CD=AB+BC$

Главная идея это обозначить такую точку $L$ в $CD$ так что бы оно делило $CD$ на $AB$ и $BC$, дальше по равенствам треугольников.

На луче СВ за точку В отметим точку К такую, что АВ = ВК. Тогда АВК равнобедренный и CD = AB + BC = BK + ВС = КС, то есть ДС также равнобедренный. Следовательно, прямые В М и СМ являются серединными перпендикулярами отрезков АК и KD соответственно. Поэтому M центр описанной окружности треугольника АКД, откуда и следует равенство MA = MD.