Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2020-2021 учебный год. 7 класс.

Найдите все двузначные натуральные числа, каждое из которых делится на сумму факториалов своих цифр?
   Примечание. Факториал натурального числа $n$ определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно и обозначается $n!$ ($n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n$). Например, $1! = 1$, $5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$. Факториал нуля принято считать равным 1, то есть $0! = 1$.

Комментарий/решение

10,12,21,32

Заметим, что 5! уже не двузначное, а трёхзначное число

Очевидно, что 5!+x<5!<некое двузначное число $\Rightarrow$ никакое двузначное число содержащее цифры 5 и выше не подходит, также очевидно, что все факториалы выше двойки чётные и их сумма тоже чётная $\Rightarrow$ числа состоящие из цифр $\geq 2$ и являющиеся нечётными тоже не подходят, также если в некотором числе n есть 4 и n/2<4! очевидно, что оно не подходит, т.к. 2 наименьший возможный делитель числа не включая единицу $\Rightarrow$ n/2 наибольший возможный его делитель не включая само число

Разбор случаев:

$$10,11,12,13,20,21,22,30,31,32$$

Для удобства выпишем факториалы от 0 до 4

$0!=1$

$1!=1$

$2!=2$

$3!=6$

$4!=24$

$(10;2) (11;2) (12;3) (13; 7) (20; 3) (21; 3) (22; 4) (30;7) (32; 8)$

рассмотрев каждую пару можно вывести, что только 10,12,21 и 32 подходят

Ответ: {10;12;21;32}

Фу подбор. Где красивое решение эрик

(

Ответ: {10, 12, 21; 32}

Заметим что 5!>100

значит подходят только факториалы от 0 до 4 включительно, и замечая еще пару нюансов сокращаем число подборов

и получаем ответ.