Областная олимпиада по математике, 2005 год, 10 класс

Докажите справедливость тождества $$ \sin x + \sin 2x + \dots + \sin nx = \frac{{\sin \frac{{nx}} {2} \cdot \sin \frac{{n + 1}} {2}x}} {{\sin \frac{x} {2}}}, \quad x \ne 2 \pi k, \ k \in \mathbb{Z}. $$

Комментарий/решение

$\sin{x}+\sin{2x}+ \ldots + \sin{nx} = \cfrac{ \sin{\cfrac{nx}{2}} \sin{\cfrac{(n+1)x}{2}} }{ \sin{\cfrac{x}{2}} }, \quad x \ne 2 \pi z, \ z \in \mathbb{Z}. \label{eq:1} \tag{1}.$

Выражение $\eqref{eq:1}$ верно при $n=1$.

Пусть, выражение $\eqref{eq:1}$ верно при $n=k$, тогда получим:

$\sin{x}+\sin{2x}+ \ldots + \sin{kx} = \cfrac{ \sin{\cfrac{kx}{2}} \sin{\cfrac{(k+1)x}{2}} }{ \sin{\cfrac{x}{2}} }, \quad x \ne 2 \pi z, \ z \in \mathbb{Z}. \label{eq:2} \tag{2}.$

Проверим, верно ли выражение $\eqref{eq:1}$ при $n=k+1$.

$\sin{x}+\sin{2x}+ \ldots + \sin{kx} + \sin{(k+1)x}= \cfrac{ \sin{\cfrac{(k+1)x}{2}} \sin{\cfrac{(k+2)x}{2}} }{ \sin{\cfrac{x}{2}} }, \quad x \ne 2 \pi z, \ z \in \mathbb{Z}.$

Используя, выражение $\eqref{eq:2}$, получим:

$$\cfrac{ \sin{\cfrac{kx}{2}} \sin{\cfrac{(k+1)x}{2}} }{ \sin{\cfrac{x}{2}} } + \sin{(k+1)x}= \cfrac{ \sin{\cfrac{(k+1)x}{2}} \sin{\cfrac{(k+2)x}{2}} }{ \sin{\cfrac{x}{2}} }, \quad x \ne 2 \pi z, \ z \in \mathbb{Z}.$$

$$\cfrac{ \sin{\cfrac{kx}{2}} \sin{\cfrac{(k+1)x}{2}} + \sin{\cfrac{x}{2}} \sin{(k+1)x} }{ \sin{\cfrac{x}{2}} } = \cfrac{ \sin{\cfrac{(k+1)x}{2}} \sin{\cfrac{(k+2)x}{2}} }{ \sin{\cfrac{x}{2}} }, \quad x \ne 2 \pi z, \ z \in \mathbb{Z}.$$

$$\cfrac{ \sin{\cfrac{(k+1)x}{2}} \left(\sin{\cfrac{kx}{2}} + 2 \sin{\cfrac{x}{2}} \cos{\cfrac{(k+1)x}{2}} \right) }{ \sin{\cfrac{x}{2}} } = \cfrac{ \sin{\cfrac{(k+1)x}{2}} \sin{\cfrac{(k+2)x}{2}} }{ \sin{\cfrac{x}{2}} }, \quad x \ne 2 \pi z, \ z \in \mathbb{Z}.$$

$$\cfrac{ \sin{\cfrac{(k+1)x}{2}} \sin{\cfrac{(k+2)x}{2}} }{ \sin{\cfrac{x}{2}} } = \cfrac{ \sin{\cfrac{(k+1)x}{2}} \sin{\cfrac{(k+2)x}{2}} }{ \sin{\cfrac{x}{2}} }, \quad x \ne 2 \pi z, \ z \in \mathbb{Z}.$$

Значит, выражение $\eqref{eq:1}$ верно.

$\sin x+ \sin 2x+...+\sin nx=S.$

Қосындыны $2\sin \frac{x}{2}\neq 0$-ге көбейтіп бөлеміз:

$S=\frac{1}{2\sin \frac{x}{2}}\left ( 2\sin \frac{x}{2}\sin x+ 2\sin \frac{x}{2}\sin 2x+...+ 2\sin \frac{x}{2}\sin nx \right )=\frac{1}{2\sin \frac{x}{2}}\left ( \cos \frac{x}{2}-\cos \frac{3x}{2}+\cos \frac{3x}{2}-\cos \frac{5x}{2}+...+\cos \frac{2n-1}{2}x-\cos \frac{2n+1}{2}x \right )=\frac{1}{2\sin \frac{x}{2}}\left ( \cos \frac{x}{2}-\cos \frac{2n+1}{2}x \right )=\frac{1}{2\sin \frac{x}{2}}\left (2 \sin \frac{nx}{2}\cdot \sin \frac{n+1}{2}x \right )=\frac{\sin \frac{nx}{2}\cdot \sin \frac{n+1}{2}x}{\sin \frac{x}{2}}.$

$S=\frac{\sin \frac{nx}{2}\cdot \sin \frac{n+1}{2}x}{\sin \frac{x}{2}}$