Юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2021-2022 учебный год. 7 класс.

Докажите неравенство для всех действительных чисел $x$ и $y$: $x^2 + (1 - y)^2 + (x - y)^2 \ge 1/3$.

Комментарий/решение

$x^2+(1-y)^2+(x-y)^2-\frac{1}{3}\geq 0.$

Жақшаларды ашамыз:

$x^2+(1-y)^2+(x-y)^2-\frac{1}{3}=x^2+1-2y+y^2+x^2-2xy+y^2-\frac{1}{3}=2x^2+2y^2-2xy-2y+\frac{2}{3}.$

$$2x^2+2y^2-2xy-2y+\frac{2}{3}=\frac{4x^2-4xy+y^2}{2}+\frac{3}{2}\cdot \left ( y^2-\frac{4y}{3}+\frac{4}{9} \right )=\frac{1}{2}\cdot (2x-y)^2+\frac{3}{2}\cdot (y-\frac{2}{3})^2. $$

$\frac{1}{2}\cdot (2x-y)^2+\frac{3}{2}\cdot (y-\frac{2}{3})^2\geq 0.$

Теңдік $x=\frac{1}{3}, y=\frac{2}{3}$ болғанда орынадалады.