Юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2021-2022 учебный год. 8 класс.

Решите уравнение в действительных числах $6^{x}+30^{x}+33^{x}=45^{x},$ где $x \geqslant 1$.

Комментарий/решение

Заметим что $x=2$ подходит (ну это же очевидно ^^).

Сократим везде по $45^x$ и получим $(\frac{2}{15})^x+(\frac{2}{3})^x+(\frac{11}{15})^x=1.$

Дадим меньше чем $x=2$, дроби слева станут больше $1$, дадим больше $x=2$, дроби станут меньше $1.$

с обеих сторон сокращаем 3^x и расматриваем по модулю 3.

1)Если x-нечетный: 2^x+10^x+11^x дает 2 по модулю 3. Противоречие

2)Если x-четный: то x=2k, 4^k+100^k+121^k=225^k, заметим k=1 подходит(ну это же очевидно ^^) . Заменим 4 на a, 100 на b, 121 на c, и выходит что a^k+b^k+c^k=(a+b+c)^k.

Допустим k больше чем 1. Тогда (a+b+c)^k=a^k+b^k+c^k+... что очевиндо строго больше a^k+b^k+c^k потому что a,b,c натуральные. Противоречие. k=1 x=2

X не обязательно целое