Юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2021-2022 учебный год. 8 класс.

Диагонали квадрата $ABCD$ пересекаются в точке $O$. На отрезках $OA$, $OB$, $OC$ соответственно отмечены точки $K$, $L$, $M$ так, что угол $KLM$ равен $135^{\circ}$. Прямая $M L$ пересекает сторону $DC$ в точке $P$. Прямая, проходящая через $K$ и перпендикулярная прямой $ML$, пересекает стороны $BC$ и $AD$ в точках $Q$ и $R$ соответственно. Докажите, что треугольник $PQR$ равнобедренный.

Комментарий/решение

По условию $KF \perp LF$, докажем что $PF$ так же является серединным перпендикуляром.

Т.К. $\angle BOA = \angle LFK = 90 \Rightarrow$ $OLFK$ вписаннный четырехугольник

Тогда $\angle FOK = \angle FLK = 45 \Rightarrow OF$ - средняя линия квадрата. Тогда так как любой отрезок заключенный между параллельными сторонами квадрата делится по полам его средней линией, $RF=RQ$, ч.т.д.

Как RF=RQ?

может он имел в виду то что RF=FQ, тогда PF будет и перпендикуляром и медианой что следует равность сторон PQ и PR