Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2021-2022 учебный год. 7 класс.

Известно, что $\overline {a \ldots a}$ кратно $\overline {b \ldots b}$. Обязательно ли количество цифр первого числа делится на количество цифр второго?

Комментарий/решение

Ответ: Да.

Допустим что нет:

Короче, рассмотрим что первое это ашки $k$ раз, а второе это бшки $n$. По факту, если слева делится на право то слева делится на однерки $n$ раз. Давайте репрезентуем ашки:

$\overset{k}{\overbrace{11...1}}*a=\overset{n}{\overbrace{11...1}}*10^{k-n}*a+\overset{k-n}{\overbrace{11...1}}*a$ и это делится на $\overset{n}{\overbrace{11...1}}$, повторим действия пока не получится что $\overset{s}{\overbrace{11...1}}*a$ $(0<s<n)$ будет делиться на $\overset{n}{\overbrace{11...1}}$ что невозможно ибо справа больше.

Кстати, прикольно что матол признал Юниорскую олимпиаду и выложил их на сайт

Ответ: Да

Рассмотрим такие числа как:

$a(1+10+...+10^k-1) , b(1+10+...+10^n-1)$

где кол-во $k$ и $n$ это кол-во экземпляров $a$ и $b$.

Заменим для удобства

$A=(1+10+...+10^k-1)$

$B=(1+10+...+10^n-1)$

Заметим, что $k>n$ (они равны быть не могут, тк задача будет уже решена)

Получаем что:

$A=B(mod B)$

и продолжая данный процесс получим:

$k=0(mod n)$

ч.т.д.