Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2021-2022 учебный год. 7 класс.

Дана клеточная таблица $5 \times 5$, в которой во всех клетках написано число 0. За одну операцию разрешается увеличить на 1 все числа в клетках, которые образуют уголок. Докажите, что за несколько таких операций числа во всех клетках таблицы не смогут стать одинаковыми. Уголком считается фигура, которая получается при удалении из квадрата $2 \times 2$ одной клетки.

Комментарий/решение

Докажем от противного, Допустим мы смогли добиться такого.

Расскрасим на $4$ цвета $a,b,c,d$ так чтобы в каждом квадрате $2\times2$ было все цвета как на рисунке внизу.

У нас $a$-шек $9$ штук, $b$-шек $6$ штук, $c$-шек $6$ штук, $d$-шек $4$ штук и у нас $a=b=c=d$

Заметим что у нас есть операции c $[a+b+c] $, $[a+b+d]$, $[a+d+c] $, $[b+d+c]$

Пусть операции было $m,n,k,i$ соответственно, тогда сумма всех $a$-шек $m+n+k$

то есть $$9a=m+n+k$$ Анологично $$[6b=m+n+i], [6c=m+k+i], [4d=n+k+i] $$

Так как $a=b=c=d \Rightarrow$ $$[9a=m+n+k],[ 6a=m+n+i], [6a=m+k+i], [4a=n+k+i] $$

Легко заметить что $n=k$ Теперь запишем в виде

$$[9a=m+2n],[ 6a=m+n+i], [6a=m+n+i], [4a=2n+i] $$

у нас $$2m+4n=2\cdot9a=3\cdot6a=3m+3n+3i \Rightarrow$$

$$n=m+3i$$

еще у нас $$2m+2n+2i=2\cdot6a=3\cdot4a=6n+3i \Rightarrow$$

$$2m=4n+i$$

подставляем $n=m+3i$ на $2m=4n+i$ тогда следует что $$2m+13i=0$$

значит $$m=i=0$$

$$6a=m+n+i=n$$ еще $$4a=2n+i=2n$$

$$6a\cdot2=2n=6n=4a\cdot3 \Rightarrow$$

$$n=0$$

Мы нашли что $m=n=k=i=0$ значит $a=b=c=d=0$

Следовательно все клетки равны только и тогда когда все равны нулю значит после каких то операции на всех не могут быть одинаковые числы.

На самом деле, после получения

$$[9a = m + n + k], [6a = m + n + i], [6a = m + k + i], [4a = n + k + i]$$

можно было просуммировав последние три равенства понять, что

$$16a = 6a + 6a + 4a = 2(m + n + k) + 3i \geq 2(m + n + k) = 18a$$

что противоречит тому, что $a$ положительное.

Авторское решение было таким.

Допустим мы смогли за несколько операций получить, что в каждой клетке написано число k Раскрасим клетки доски следующим образом: в рядах с нечетным номером (нумерация снизу вверх) 12121, а в рядах с четным номером 34343. Тогда клеток 19 штук, 2 и 3 по 6 и клетки цвета 44 штуки. Заметим, что уголок из 3 клеток покрывает либо 1,2,3 либо 1,2,4 либо 1,3,4 либо 2,3,4. Обозначим a, b, c, d как количество уголков каждого вида уголка. Тогда можно понять, что

a + b + c = 9k

a + b + d = 6k

a + c + d = 6k

b + c + d = 4k

Сложив последние три равенства, получаем 16k = 2a + 2b + 2c + 3d ≥ 2(a + b + c) = 18k. Но k положи- тельное, поэтому изначальное предположение неверно.