7-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2020 год, вторая лига, 9-10 классы

В остроугольном треугольнике $ABC$ ($AC > AB$) точка $H$ --- ортоцентр, $M$ --- середина отрезка $BC$. Медиана $AM$ вторично пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $X$. Прямая $CH$ пересекает серединный перпендикуляр к отрезку $BC$ в точке $E$, и вторично пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $F$. Окружность $\omega$ проходит через точки $X$, $E$ и $F$, точка $J$ на $\omega$ такова, что четырёхугольник $BCHJ$ --- трапеция ($CB\parallel HJ$). Докажите, что прямые $JB$ и $EM$ пересекаются на $\omega$.

Комментарий/решение

Как видно по условию, задача нижмидовая, так как какие-то медианы какие-то окружности пересекают, очень (прям ультра супер пупер) сильная логическая связь с медианой. Из-за такой мотивации можно не решать эту задачу, а перейти к общему случаю и по воле судьбы может быть окажется, что обобщение задачи будет круче.

Первым на ум приходит такая мысль: $M$ меняем на произвольную точку на $BC$, соответственно перпендикуляр к $BC$ через $M$ также пересекает высоту в $E$ и т.п. Почему? ну тут очень просто: надо всего-то решить задачу для $M$, которое основание высоты $(\aleph)$. Это очень очевидно. Далее замечания, которые следуют за пристальным взглядом на эту картину: $F$ - фиксированная точка, $JH$ имеет постоянное направление в виде $BC$, но самое интересное встретить ту же окружность, что и в $(\aleph)$. Как это происходит? Самое простое объяснение - лемма Фусса для $(JFH)$ и $(ABC)$... Пусть $(JFH)$ и $JB$ вторично пересекаются в $D(?)$, тогда $\angle (JD,DF)=\angle (FH,HJ)=\angle (FC,CB)$, это символизирует, что углы $BDF$ и $FCB$ равны, то есть $D\in (ABC)$. Пусть $DH$ пересечет $(ABC)$ в $A'$, тогда по лемме Фусса, ну или по-человечески $t$ - касательная к $JFH$ в точке $H$ (это значит, что $t$ - касательная к $JFH$ в точке $H$), $\angle (t, HD)=\angle (HF,FD)=\angle (CA',AD) \Leftarrow A'C||t$, но $\angle (t, HD)=\angle (HF,FD)=\angle (CA,AD) \Leftarrow AC||t$,значит $A,H,D$ коллинеарны. Далее просто применяется лемма Фусса $(JFH)$ и $\omega$ для секущих $F-H-E$ и $J-D-Y$ ($Y$ - пересечение вторичное $JD$ с $\omega$), тогда $HD||EY$, но $HD\bot BC$, значит $EY\bot BC$, поэтому $M\in BC$, но требовалось $M\in EY$, что высказано в последней выкладке.