8-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2021 год, первая лига, 7-8 классы

Назовём сердцем фигуру, состоящую из трёх полуокружностей с диаметрами $AB$, $BC$ и $AC$, где точка $B$ является серединой отрезка $AC$ (см. рисунок).
   Дано сердце $\omega$. Назовём пару точек $(P,P')$ удачной, если $P$ и $P'$ лежат на $\omega$ и делят его периметр пополам. Пусть пары $(P,P')$ и $(Q,Q')$ являются удачными. Касательные в точках $P$, $P’$, $Q$ и $Q’$ к $\omega$ в пересечении образуют выпуклый четырёхугольник $XYZT$. Оказалось, что он является вписанным. Найдите угол между прямыми $PP’$ и $QQ’$.

Комментарий/решение

Можно показать что любые отрезки проходящие через $B$ удачные точки $(P,P')$ будут делить $\omega$ пополам, пусть $T,X,Y,Z$ расположены с юга на запад по часовой стрелки и $P \in TX, Q' \in XY, \ P' \in YZ, \ Q \in TZ$.

Пусть $\angle P'CB=x, \ \angle BCQ=y$ тогда очевидно что $\angle PTQ=x+y$ но $\angle YP'C=90^{\circ}-x, \ \angle YQ'C = 90^{\circ}-y$ то есть $\angle Q'YP'=2x+2y$ но так как $XYZT$ вписанный, тогда $2x+2y=180^{\circ}-x-y$ или $x+y=60^{\circ}$ или $\angle (PP', QQ')=60^{\circ}$