8-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2021 год, вторая лига, 9-10 классы

На сторонах $AB$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ нашлись такие точки $E$ и $F$ соответственно, что $\angle EDC = \angle FBC$ и $\angle ECD = \angle FAD$. Докажите, что ${AB \geqslant 2BC}$.

Комментарий/решение

Сразу заметим равность $\angle EDC$, $\angle FAD$, $\angle DEA$

Также заметим равность $\angle ECD$, $\angle ECB$, $\angle CEB$, $\angle AFD$, $\angle FAD$, $\angle FAB$ по счету углов

Также по счету углов заметим что $AF \| CE$

Заметим что $\triangle ADF$ и $\triangle CBE$ равнобедренны и равны

Продолжим стороны $BC$ и $DE$ точау их пересечения назовем K

Дальше узнаем что $DFBK$ вписанный и дальше по степени точки выходит что $FC \ge BC$ а значит $FC \ge DF$ что дает нам то что $DC \ge 2BC$ когда $DC=AB$

Выходит что $AB \ge 2BC$

Почему $\angle EDC$ равен $\angle FAD$? и почему $\angle ECD=\angle ECB$?

Это можно легко заметить если продлить прямые

В решении опечатка равные улгы это $\angle EDC$ и $\angle FAB$

$\angle ECD$ равен $\angle ECB$ по банальному счету углов