8-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2021 год, третья лига, 11-12 классы

На плоскости расположен выпуклый 2021-угольник, никакие три вершины которого не лежат на одной прямой, а никакие четыре вершины не лежат на одной окружности. Докажите, что можно выбрать две вершины многоугольника так, чтобы каждая окружность, проходящая через через них, содержала строго внутри себя хотя бы 673 другие вершины многоугольника.

Комментарий/решение

Наконец, это было довольно сложно

треугольник с вершинами между нашими точками назовем «хорошим», если все остальные точки лежат внутри описанной окружности.

Сначала мы докажем, что существует триангуляция этого многоугольника такая, что все треугольники хорошие.

Выберите случайное ребро $AB$ на выпуклой оболочке. между всеми остальными точками $P$ существует единственная такая, что $\widehat{APB}$ минимальна (поскольку никакие четыре не лежат на одной прямой). теперь ясно, что $\Delta APB$ — это хорошо.

В завершение этой части докажем лемму: если $X,Y$ — точки такие, что $XY$ такая, что $XY$ не является ребром выпуклой оболочки, и существует $P$ такая, что $\Delta XPY$ хорошая, то по другую сторону от $XY$ есть еще одна точка $Q$, такая что $\Delta XQY$ тоже хорошая.

Доказательство: используя $XY$, разделите многоугольник $S$ на две части $S_1,S_2$ такие, что $P\in S_1$, и назовите описанную окружность $XYP$ $\Gamma$. ясно, что, кроме $X,Y$, остальная часть $S_2$ лежит строго внутри $\Gamma$. теперь непрерывно измените $\Gamma$ так, чтобы сторона, не содержащая $P$, сжималась, а сторона, содержащая $P$, росла. мы знаем, что он все еще содержит $S_1$. делайте это до тех пор, пока $\Gamma$ не коснется $S_2$ в третьей точке. если мы выберем эту точку как $Q$, то ясно, что $\Delta XYQ$ хороша (и, конечно, $Q$ — это вершина, а не середина ребра), так что лемма доказана.

поэтому теперь, используя эту лемму, начиная с $\Delta APB$, пока многоугольник не полностью триангулирован, мы можем добавить к нему еще один треугольник. обратите внимание: поскольку мы добавляем треугольники в те части многоугольника, которые ранее не были затронуты, это фактически создает триангуляцию.

Итак, теперь мы знаем, что существует триангуляция, состоящая исключительно из хороших треугольников. мы закончим задачу, используя этот известный факт:

В любой триангуляции выпуклого многоугольника с $n+2$ вершинами существует ребро в триангуляции такое, что конечные точки находятся на расстоянии не менее $\frac n3$ точек по периметру как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки.

для доказательства можно расположить вершины $n+2$-угольника на вершинах правильного $n+2$-угольника (так, чтобы порядок точек на выпуклой оболочке оставался прежним), поэтому достаточно докажите это для правильного многоугольника. что можно сделать, взяв самое длинное ребро в триангуляции. если его концы расположены на расстоянии менее $n/3$ друг от друга, то один из двух треугольников с каждой стороны имеет более длинное ребро, противоречие (посмотрите на периметр описанной окружности).

взяв две такие точки, если мы разделим многоугольник этой линией, мы обнаружим, что каждый круг, проходящий через обе, содержит по крайней мере одну часть многоугольника, и мы знали, что каждая часть имеет по крайней мере $\frac{2021-2}{3}= 673$ балла! итак мы закончили