Районная олимпиада, 2022-2023 учебный год, 11 класс

Дан треугольник $ABC$ и пусть $G$ — центроид, точка пересечения медиан. Известно, что точка симметричная точке $G$ относительно $BC$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$. Найдите отношение $AG/BC$.

Комментарий/решение

Подсказка: доказать, что симметричная точка G относительно M, где M - середина BC также будет лежать на окружности. Дальше степень точки M

Ответ 1/3.

Пусть К - точка симметричная G относительно BC.

Треугольник GBK - равнобедрянный, значит ∠KAC = ∠KBC = ∠GBC = x , анолагично ∠KAB = ∠KCB = ∠GCB = y

A1, B1, C1 вершины медиан, P - пересечение AK со стороной BC.

Получаем четырехугольники ABPB1 и ACPC1 вписанные.

Значит ∠PAB1 = PC1C = ∠KAC = x,

∠PAC1 = ∠PB1B = ∠KAB = y

∠APB = ∠AB1B, ∠APC = ∠AC1C.

Очевидно что ∠APB + ∠APC = 180

Значит четырехугольник AB1GC1 вписанный

B1C1 параллелен BC

∠GBC = ∠GB1C1 = x, ∠GCB = ∠GC1B1 = y

AB1PC1 вписанный значит ∠C1AG = ∠BAG = ∠C1B1G = x, ∠B1AG = ∠B1C1G = ∠CAG = y

∠BAG = ∠CBG

Значит BA1 - касательная к описанной окружности около треугольника ABG

BC = 2a, BA1 = a. По свойству центроида A1G = b, AA1 = 3b

Используя степень точки a^2 = 3x^2

AG/BC = 2x/2a = 4x^2/4a^2 = 4x^2/12x^2 = 1/3

Жауабы: AG/BC< 1/√3 Шешуі

1)Берілген АВС үшбұрышы центрі белгілі бір О нүктесі радиусы R-ге тең болатын шеңберге іштей сызылған және қабырғаларының бірі BC= √3 R ал АК оның медианасы болсын, ВК=СК, G∈AK. АВ≠ВС ≠АС

2)К нүктесі арқылы ВС қабырғасына жүргізілген перпендикуляр түзу О нүктесі арқылы өтеді және шенбермен қандайда бір D мен О/ нүктесінде қиылысады, олай болса ВС=ВD=CD , яғни DВС АВС- мен бір қабырғасы ортақ шеңберге іштей сызылған тең қабырғалы үшбұрыш болады.

3)ОК=О/К, GE=G/E, E∈ BC мұндағы О/ пен G/ шеңбер бойында жатқан нүктелер болып табылады . S_BC(0)=0/ , S_BC(G)=G/

OD=R, OD/BC=R/(R√3)=1/√3

4)ОА=OD<AG болуы мүмкін емес, өйткені А нүктесі шеңбер бойында жатыр және һ_АВС<Һ_DBC

O/K>G/E олай болса, OK>GE бұдан O/O > GG/ , яғни OD> GG/ , GК> GE ендеше AG>GG/ осыдан OD – AG > O немесе AG – OD < O демек , OD> AG ендеше AG/(BC )< OD/BC=1/√3 яғни AG/BC< 1/√3

Амангелді Садыков