Областная олимпиада по математике, 2023 год, 10 класс

Найдите все монотонные функции $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ такие, что $$f\left(\frac{x+y}{4}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{2}.$$

Комментарий/решение

Можно избежать использование монотонности. $P(2x,2x)$ и $2f(x)=2f(2x)$ и $f(x)=f(2x)$.

$P(4x,0)$ и $2f(x)=f(4x)+f(0)$, но $f(x)=f(2x)=f(4x)$, и $f(4x)=f(0)=c$ то есть $f(x)$ это константа.