Республиканская олимпиада по математике, 2023 год, 9 класс

Пусть $x$ и $y$ положительные действительные числа такие, что $x^2y^2 + 2x^3y = 1$. Найдите наименьшее возможное значение суммы $x + y$. ( Н. Кунгожин )

Комментарий/решение

$x^2(y^2+2xy)=1$ и значит по $AM \geq GM$

$(x^2+y^2+2xy)^2/4=(x+y)^4/4 \geq x^2(y^2+2xy)=1$ и значит $(x+y)^4 \geq 4$ и получается что ответ под корнем 2. Пример ищем по $x^2=y^2+2xy.$

Решение через Lagrange Multipliers:

Берём $L(x,y,\lambda) = x+y+ \lambda (x^2y^2+2x^3y-1)$. Тогда глобальный минимум в $\mathbb{R}_{>0}^2$ должен подходить уравнениям:

$$ \frac{\delta}{\delta x} L = 0 \implies 1+2 \lambda y (xy+3x^2)=0$$

$$\frac{\delta}{\delta y} L = 0 \implies 1+2 \lambda x^2(x+y)=0$$

$$\frac{\delta}{\delta \lambda} L = 0 \implies x^2y^2+2x^3y=1$$

Из первых двух уравнений мы получаем $\lambda =0$ или

$$xy^2+3x^2y=x^2y+x^3$$

Заметим, что $ \lambda \neq 0$, ведь иначе первое уравнение превращается в $1=0$. Тогда из второго уравнения, учитывая, что $x,y>0$, получаем $x=y(1+\sqrt{2})$. Подставляя это в третье уравнение, получаем:

$$y^4(1+\sqrt{2})^4=1$$

Отсюда $x=1$, $y=\sqrt{2}-1$, значит минимальное значение это $\sqrt{2}$

Можно полегче. Квадратное уравнение от $y$

$$y = \dfrac{-2x^3+\sqrt{4x^6+4x^2}}{2x^2} \implies x+y = \dfrac{\sqrt{x^4+1}}{x} \ge \dfrac{\sqrt{2x^2}}{x} = \sqrt{2}.$$

Пример $x=1, y=\sqrt{2}-1.$

Просто прибавим в обе стороны $x^4$ и поделим на $x^2$ и получим $(x+y)^2$ $=$ $1/x^2+x^2$ что по $AM\geq GM$ больше равен чем 2, откуда $(x+y)^2$ $\geq$ $2$, откуда минимальное значение $x+y$ $=$ $\sqrt{2}$, пример $x$ $=$ $1$, $y$ $=$ $\sqrt{2}$ $-$ $1$.

Красиво

$(x+y)^2=x^2+\frac{2x^3y+x^2y^2}{x^2}=x^2+\frac 1{x^2}\ge 2$

Итак, $\boxed{x+y\ge\sqrt 2}$, достигается, например, когда $(x,y)=(1,\sqrt 2-1)$