Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, II тур заключительного этапа

Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$, в котором $AB = BC = CD = 4$. На сторонах $AB$ и $CD$ выбраны точки $K$ и $L$ соответственно таким образом, что $AK = DL = 1$. На стороне $AD$ снаружи четырёхугольника построен треугольник $AMD$, в котором $AM = MD = 2$. Оказалось, что $KL = 2$. Докажите, что $BM = CM$. ( Ц. Французов )

Комментарий/решение

$\dfrac{AM}{AK}=\dfrac{AB}{AM}=2, \angle KAM=\angle MAB \Rightarrow \triangle KAM \sim \triangle MAB \Rightarrow \dfrac{BM}{KM}=2$ $ \textbf{ (1)}$

$\dfrac{MD}{DL}=\dfrac{DC}{MD}=2, \angle MDC=\angle LDM \Rightarrow \triangle LDM \sim \triangle MDC \Rightarrow \dfrac{CM}{LM}=2$ $ \textbf{ (2)}$

$\dfrac{BC}{KL}=2, \textbf{ (1)} \textbf{ (2)} \Rightarrow \dfrac{BM}{KM}=\dfrac{CM}{LM}=\dfrac{BC}{KL}=2 \Rightarrow \triangle KML \sim \triangle BMC \Rightarrow \angle KML=\angle BMC \Leftrightarrow \angle KMB=\angle LMC$

$\dfrac{BM}{KM}=\dfrac{CM}{LM}=2, \angle KMB=\angle LMC \Rightarrow \triangle KMB \sim \triangle LMC , $ $BK=CL=3 \Rightarrow KM=ML, BM=MC$ ч.т.д