6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 2 тур

Даны три натуральных числа. Произведение первого и второго оканчивается на ноль, а произведение первого на третьей и произведение второго на третье на ноль не заканчивается. Может ли сумма всех трех чисел быть равна 2023?

Комментарий/решение

Так как произведение первого и второго числа при умножении даёт цифру 0, либо одно из чисел заканчивается на 0, либо одно из чисел заканчивается на 5 а другое заканчивается на четную цифру. Это так ведь что бы число заканчивалось на 0 оно должно делиться на 10, тоесть если первое и второе число равны X и Y соответсвенно то

XY⁝10

XY⁝2*5

Тоесть либо X⁝10 ,Y⁝10, либо X⁝5 Y⁝2 и наоборот, значит найдётся число красное 5.

Рассмотрим вариант когда одно из чисел заканчивается на 0, тогда возьмём его как Х а остальнве как Y,Z

Х⁝10

ХҮ⁝10

ХZ⁝10, но это противоречит условию ведь есть только 1 произведение чисел которое заканчивается на 0, значит верен вариант при котором число красное 5 заканчивается на 5.

Опять же возьмём число красное 5 как X а остальные как Y,Z, если

ХY и XZ не делиться на 10 то очевидно Y и Z несетнве, а значит XY не делиться на 2, следовательно YZ не делиться на 10, но в этом варианте ни одно из 3 произведений не кратно 10, а это противоречие, значит одно из произведений на Х кратно 10.

По Б.О.О. берём что

ХY⁝10

XZ не делиться на 10

Тогда Y четный а Z нечетный, но у нас в этом варианте X заканчивается на 5, тоесть он тоже нечетнвый, значит сумма

X+Y+Z=НЧ+Ч+НЧ=Ч

Тоесть сумма всех 3 чисел кратно 2 а 2023 на 2 не делиться значит сумма 3 наших чисел не может быть 2023 что и требовалось доказать.

Хорошое решение

Хорошое решение

Хорошое решение

Легенда

Легенда

Легенда

.

.