6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 2 тур

В клетках таблицы $5\times 5$ записаны все натуральные числа от 1 до 25. Известно, что любые два последовательных числа записаны в соседних по стороне клетках. Полоской назовём любую строку или столбец. Рассмотрим полоску, в которой находятся наибольшее количество простых чисел. Какое наибольшее количество простых чисел может оказаться в этой полоске?

Комментарий/решение

Вначале, рассмотрим все простые числа от 1 до 25. Это: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. Их количество равно 9. 9 больше 5-ти, значит, в полоске возможно есть 5 простых чисел. Давайте попробуем расставить в таблице числа так, чтобы в полоске было 5 простых чисел.

1 4 6 8 9

2 3 5 7 11

15 14 13 12 10

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

Как видим, во второй строке есть 5 простых чисел. Значит, наибольшее количество простых чисел в полоске равно 5.

Хочу добавить, что приведенная мною выше таблица является лишь примером. Могут быть и другие варианты расстановки чисел в таблице, которые соответствуют условиям задачи.

вы неверно расставили числа, они должны соседствовать и с предыдущим, и с последующим числом, поэтому пример некорректный.

Верно, извиняюсь. Тогда мое решение некорректно. Еще раз извиняюсь.

Давайте решим задачу графически, но, вначале, разберемся в простых числах:

Простым четным числом может быть только 2, то есть только одно четное число может быть простым!

Разобьем таблицу на шахматную доску, то есть на белый и черный цвет.

Пусть белыми будут четные, а черные будут нечетные. Тогда подберем полоску, где будет больше черных. Это полоска состоит из трех черных и двух белых. Тогда можно с такой полоски получить 4 простых чисел! Одним из них будет точно 2.

Пример: Составьте таблицу в форме улитки, где счет начинается в центре. Тогда можно получить точно такую полоску!