6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6-7 класс, 3 (командный) тур

Найдите все натуральные числа $n$ и $x$ такие, что $\underbrace {11 \ldots 1}_{n-\text{раз}}\underbrace {44 \ldots 4}_{2n-\text{раз}} = {x^2}$?

Комментарий/решение

это можно представить как

$11111\cdots11*10^{2n}+4*11111\cdots11*10^n+4*11111\cdots11=\dfrac{99999\cdots99*10^{2n}+4*99999\cdots99*10^n+4*99999\cdots99}{9}=\dfrac{10^{3n}+4*10^{2n}+4*10^n-10^{2n}-4*10^n-4}{9}=\dfrac{10^n*(10^n+2)^2-(10^n+2)^2}{9}=\dfrac{(10^n-1)*(10^{n}+2)^2}{9}=(\dfrac{10^{n}+2}{3})^2*(10^n-1)=x^2 \Rightarrow 10^n-1=n^2 \Rightarrow 99999\cdots99=n^2 \Rightarrow 9*11111\cdots11=n^2 \Rightarrow 11111\cdots11=(r+1)^2 \Rightarrow 11111\cdots10=r(r+2)$

если r-нечет. $\Rightarrow$ r+2-нечет. $\Rightarrow 11111\cdots10$-нечет. противоречие

если r-чет. $\Rightarrow$ r+2-чет. $\Rightarrow 11111\cdots10$ делиться на 4, 10 не делиться на 4 противоречие $\Rightarrow n<2 \Rightarrow n=1 \Rightarrow 144=x^2 \Rightarrow x=12$

Отв: n=1; x=12