Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2022 год

В остроугольном треугольник $ABC$, $AB=AC$. Точка $D$ — основание высоты опущенного из вершины $B$ на $CA$, а точка $E$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на $BC$. Известно, что $BC=AB+AD$. Докажите, что $BE=CD$.

Комментарий/решение

Пусть $F \in DE \cap AB$ тогда из условия выходит что тр-и $BEF, \ CED$ подобны, значит $\dfrac{CD}{BF} = \dfrac{CE}{BE} \Rightarrow CD \cdot BE = BF \cdot CE$ так же из условия выходит что $CD$ касательная к окружности к $BDE$ откуда $CD^2 = CE \cdot BC$ и $AF=AD$ но так как $BF=AB+AF=AB+AD=BC$ тогда $CD \cdot BE = CD^2$ откуда $CD=BE$