Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2022 год

«Набором различных простых делителей» натурального числа назовём все его простые делители, перечисленные без повторений. Например, у числа 40 «набор различных простых делителей» — это 2 и 5. Даны два числа $A=2^k-2$ и $B=2^k \cdot A$, где $k \ge 2$. Докажите, что числа $A+1$ и $B+1$ имеют один и тот же «набор различных простых делителей».

Комментарий/решение

$$B+1=2^k\cdot A+1=2^k(2^k-2)+1=2^{2k}-2\cdot 2^k+1=(2^k-1)^2=(A+1)^2$$

очевидно, что наборы у $А+1$ и $B+1$ одинаковы