27-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Албания, 2023 год

Для всех положительных действительных чисел $x,y,z$, докажите неравенство $$\dfrac{2x^2-x+y+z}{x+y^2+z^2}+\dfrac{2y^2+x-y+z}{x^2+y+z^2}+\dfrac{2z^2+x+y-z}{x^2+y^2+z}\geq 3.$$ Определите все тройки $(x,y,z)$ для которых выполняется равенство.

Комментарий/решение

Прибавим 2 к каждой дроби.

$\displaystyle \dfrac{2x^2-x+y+z}{x+y^2+z^2}+2+\dfrac{2y^2+x-y+z}{x^2+y+z^2}+2+\dfrac{2z^2+x+y-z}{x^2+y^2+z}+2\geq 9.$

Вынесем общий множитель:

$(2x^2+x+2y^2+y+2z^2+z)(\frac{1}{y^2+z^2+x}+\frac{1}{x^2+z^2+y}+\frac{1}{x^2+y^2+z})\geq9$

Что верно по дробному КБШ

Точка равенства: $(x, y, z)=(a, a, a-1),(a, a, a)$

Во втором ответе $a≠0$

Ещё $1-a$ где $0≤a≤1$

За эту ошибку с олимпиады кикали

Так оно и было

вас будут помнить как легенд

Зная это $\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} +\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2} $

для $a=2x^2-x+y+z $ , $b=2y^2 +x-y+z$, $c=2z^2+x+y-z$

Это можно переписать как $\sum \frac{(a-b)^2}{(c+a)(c+b)} \geq 0$

Итак, поскольку $a+b , b+c , c+a >0$, это верно и равенство выполняется, когда $a=b=c. $ $2x^2x+y+z=2y^2+x-y+z=2z^2+x+y-z$ $x^2-x=y^2-y=z^2-z $

Отсюда ответ:(x,y,z)=(t,t,t), (t,t,1-t)$