Городская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы

Даны простые числа $p, q$ и $r$. Известно, что число $(qr - 1)$ делится на $p$ число $(rp - 1)$ делится на $q$ а число $(pq - 1)$ делитcя на $r$. Найдите значение $pqr$.

Комментарий/решение

Симметрично. Пусть $p>q>r$, равенства между простыми быть не может ибо $ab-1$ не поделится на $a$. Получим что $qr-1$ делится на $p$, пусть $$qr-1=ps.$$

Очевидно что $s \leq r-1$, давайте сделаем $p= \frac{qr-1}{s}$, тогда $qr^2-r-s$ поделится на $q$, соответственно $r+s$ делится на $q$, симметрично и $q+s$ делится на $r$. Тогда $q+r+s$ делится и на $q$ и на $r$, откуда факт что $q+r+s$ делится на $qr$. $$q+r+(r-1) \geq q+r+s \geq qr=(r-1)\cdot q + q \geq 3\cdot (r-1) +q,$$ $$\Rightarrow \ 2r-1 \geq 3r-3$$ $$\Rightarrow \ 2 \geq r$$ $$\Rightarrow r=2, q=3, p=5, pqr=30.$$

Замечаем что они попарно различны и тогда $pq+qr+pr-1$ делится на $pqr$ что невозможно если наименьшее из них хотя бы $3$ тогда пусть $p=2$

$2q+2r+qr-1$ делится на $2qr $ легко заметить что если наименьшее из них хотя бы $5$ то невозможно и потом легко выводятся все ответы

гениально и просто

Сделайте лицо семги

гений сам имел притензий,а теперь фанат

Он был неправ когда имел претензии против Кинга