Районная олимпиада, 2023-2024 учебный год, 10 класс

Можно ли в слове ОЛИМПИАДА заменить буквы цифрами так (разным буквам соответствуют разные цифры, одинаковым — одинаковые), чтобы полученное девятизначное число
   а) делилось на 999?
   б) на 1001?

Комментарий/решение

а) Шешуі: 1) 999х =100000000

x = 100000000/999<100101

x > 100101, яғни белгілі бір 100901 ≤ х ≤ 105910 аралығындағы көбейтінді нәтижесін қарастырайық.

999*100901 = 100800099

999*100902 = 100801098

999*100903 = 100802097

............................................

999*104910 = 104805090

999*105910 = 105804090

2) 999 –ды алты орынды санға көбейткенде келесі бір заңдылық орындалады.

999 – 104 + 910 = 1805 және 999 – 105 + 910 = 1804,

ал 999 – 910 + 1 = 90

о л и м п и а д а

1 0 4 8 0 5 0 9 0

1 0 5 8 0 4 0 9 0

Л = П = О әрі И = 5 және И = 4 болғандықтан бұл мәндер есеп шартын қанағаттандырмайды.

3) 999 – ға бөлінетін есеп шартына сай тоғыз орынды сандарды табайық.

О = 2, Л = 3 және И = 4 болсын делік. М, П, және И – дің мәндерін анықтайық.

999 – 234 + 910 = 1675, ендеше МПИ = 675

О = 2, Л = 3, И = 5 болғанда 999 – 235 + 910 = 1674

МПИ = 674. Сонымен, 234675090, 235674090 сандары 999- ға бөлінеді, бірақ

И = 4 және И = 5, олай болса қарама – қайшылық аламыз, яғни бұл сандар есеп шартына сай келмейді

Жауабы; алмастыруға болмайды

б) Шешуі: 1)

О Л И А Д А

1 0 4 0 9 0

1 0 5 0 9 0

1001*104090 = 104194090

1001*105090 = 105195090

2) 1001- ді алты орынды санға көбейткенде мынандай заңдылық орын алады. 104 + 90 = 194 және 105 + 90 = 195 әрі соңғы үш цифры 090 болады.

3) 1001 – ге бөлінетін есеп шартын қанағаттандыратын тоғыз орынды сандарды табайық. О = 2, Л = 7, И = 5 МПИ = 275 + 90 = 365, О=2, Л = 8, И = 5

МПИ = 285 + 90 = 375. Демек, 275365090 және 285375090 сандары 1001 – ге бөлінеді және есеп шарты орындалады.

Жауабы: алмастыруға болады