Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, III тур дистанционного этапа

Вася хочет несколько раз выписать в строчку число 12345 так, чтобы получившееся многозначное число делилось на 41. Какое наименьшее число раз ему нужно это сделать? ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Ответ:41

наше число представимо в виде: $12345(10⁰+10¹+10²+...+10^k)$

чтобы оно делилось на 41, нужно что бы сумма десяток делилась на 41, так как 12345 не делится на 41.

Заметим, что любая десятка при целом $n$ которое делится на 5

$10^n=1 (mod 41)$

значит нам нужно 41 экземпляров 12345.