XVIII математическая олимпиада «Шелковый путь», 2023 год

Пусть $\mathcal{M} = \mathbb{Q}[x, y, z]$ — множество многочленов с рациональными коэффициентами от трех переменных. Докажите, что для любого ненулевого многочлена $P \in \mathcal{M}$ существуют такие ненулевые многочлены $Q, R \in \mathcal{M}$, что $$ R(x^2 y, y^2 z, z^2 x) = P(x, y, z) Q(x, y, z) . $$ ( Navid Safaei )

Комментарий/решение

Предоставим способ для построения $Q,R$.

Пусть, $S$ - множество многочленов, представимых как $\sum_i d_i x^{a_i}y^{b_i}z^{c_i}$, причем $\forall i: 4a_i-2b_i+c_i \equiv 0 \pmod{9}$. Заметим, что $S$ с обычными операциями сложения и умножения образует коммутативное кольцо с единицей, причем в нем нет делителей нуля. Пусть, $P=\sum_{k=0}^8 P_k$, где $P_k$ - нулевой многочлен или он представим как $\sum_i d_i x^{a_i}y^{b_i}z^{c_i}$, где $\forall i: 4a_i-2b_i+c_i \equiv k \pmod{9}$. Теперь посмотрим на такую систему уравнений:

$\left\{ \begin{gathered} z^8(P_1 z^0 T_0+P_0 z^1 T_1+P_8 z^2 T_2+\dots)=0 \\ z^7(P_2 z^0 T_0+P_1 z^1 T_1+P_0 z^2 T_2 \dots)=0 \\ \vdots \\ z^1(P_8 z^0 T_0+P_7z^1T_1+P_6z^2T_2+\dots)=0 \end{gathered} \right. $

Заметим, что эта система из 8 уравнений с 9 переменными ($T_0,T_1,\dots$), причем коэффициенты являются элементами $S$. Следовательно, у этой системы есть решение в $S$, где не все $T_k$ - нулевые многочлены (для того как их найти и почему это так, см. Метод Гаусса).

Тогда возьмем $Q=\sum_{k=0}^8 z^k T_k$. Заметим, что тогда по построению, $Q \neq 0$ (ведь у $z^kT_k$ нет общих одночленов при разных индексах и не все $T_k$ равны 0) и многочлен $P \cdot Q$ является элементом $S$. Заметим, что у системы

$\left\{ \begin{gathered} 2\alpha+\beta=a \\ 2\beta+\gamma=b \\ 2\gamma+\alpha=c \end{gathered} \right. $

где $a,b,c$ - целые есть решение в целых тогда и только тогда, когда $4a-2b+c$ делится на 9. Значит, $P \cdot Q$ можно записать как $\sum d_i (x^2y)^{\alpha_i}(y^2z)^{\beta_i}(z^2x)^{\gamma_i}$ для целых $\alpha_i,\beta_i,\gamma_i$. Если какие-то из них являются отрицательными, то просто домножим $Q$ на $(xyz)^{3N}$ для достаточно большого $N$.

легенда

А что такое многочлен от трех переменных?

ТЫ НЕ ЗНАЕШЬ,ЧТО ТАКОЕ МНОГЧЛЕН ОТ ТРЁХ ПЕРЕМЕННЫХ?ЗАЧЕМ ТОГДА ТЫ ПРИШЁЛ НА ОЛИМПИАДУ?