Республиканская олимпиада по математике, 2024 год, 9 класс

Докажите, что для любых натуральных чисел $a$, $b$, $c$ хотя бы одно из чисел $a^3b+1$, $b^3c+1$, $c^3a+1$ не делится на $a^2+b^2+c^2$. ( Сатылханов К. )

Комментарий/решение

Решение: пусть все 3 делимости выполняются

Известно что:

1)$abc(a^2+b^2+c^2)$ делится на $a^2+b^2+c^2$

Тогда:

$(a^3*b+1)*c+(b^3*c+1)*a+(c^3*a+1)*b$ делится на $a^2+b^2+c^2$

Значит:

$(a^3*b+1)*c+(b^3*c+1)*a+(c^3*a+1)*b=a^3*bc+b^3*ac+c^3*ab+a+b+c=abc(a^2+b^2+c^2)+a+b+c$

Значит из 1) - $a+b+c$ делится на $a^2+b^2+c^2$

Очевидно что $a\leq a^2$ и тд. Но тогда так как мы решаем в натуральных числах, то:

$a+b+c\geq a^2+b^2+c^2\geq a+b+c$.

Откуда выходит равенство, причем оно достигается только при:

$a=b=c=1$

Из этого тоже легко получить противоречие:

$a^3*b+1=2$ не делится на $a^2+b^2+c^2=3$. Доказано