Областная олимпиада по математике, 2007 год, 9 класс

Пусть $O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. $AO$ пересекает $BC$ в точке $K$. На сторонах $AB$ и $AC$ взяты точки $L$ и $M$, соответственно, отличные от $B$ и $C$, так, что $KL = KB$ и $KM = KC$. Докажите, что $LM$ и $BC$ параллельны.

Комментарий/решение

<ALM=<ABC

<LMA=<ACB

$KCM$ үшбұрышы - тең бүйірлі

$KBL$ үшбұрышы - тең бүйірлі

$BC$II$LM$ параллель болады!

Соединим точки A и K. Тогда пусть AK пересекает LM в некой точке Q. Очевидно замечание, что $\angle LKA$=$\angle MKA$. Тогда LK/KM=LQ/QM=AL/AM*sin$\angle LAK$/sin$\angle KAM$=BK/KC=AB/AC*sin$\angle LAK$/sin$\angle KAM$. То бишь AL/AM=AB/BC, что в принципе и является признаком параллельности LM и BC.

ава имба