Республиканская олимпиада по математике, 2024 год, 11 класс

$\mathbb R^+$ — множество положительных действительных чисел. Найдите все функции $f: \mathbb R^+ \to \mathbb R^+$ такие, что при всех $x,y\in \mathbb R^+$ выполняется равенство \[ f \left( x+\frac{f(xy)}{x} \right) = f(xy) f \left( y + \frac 1y \right). \] ( Абу А. )

Комментарий/решение

Решение. Пусть $P(x,y)$ обозначает начальное уравнение.

$(1)$ $P(1,x):$ $f(f(x)+1) = f(x)f\left(x+\dfrac 1x\right).$

$(2)$ $P(t/x, x):$ $f\left(\dfrac{t}{x} +\dfrac{xf(t)}{t} \right) = f(t)f\left(x+\dfrac 1x\right).$

Допустим нашлись такие $b > a$, что $f(a) > f(b)$, тогда

\[ f\left (\dfrac ax + \dfrac{xf(a)}{a} \right )> f\left (\dfrac bx + \dfrac{xf(b)}{b} \right )\]

Но с другой стороны существует такое $x$, что

\[ \dfrac ax + \dfrac{xf(a)}{a} = \dfrac bx + \dfrac {xf(b)}{b} \iff x^2 = (b-a) \div \left (\dfrac{f(a)}{a} - \dfrac{f(b)}{b} \right )> 0, \]

противоречие. Значит $f$ не убывает.

$(3)$ $P(x, t/x):$ $f\left (x+\dfrac{f(t)}{x}\right )= f(t)f\left (\dfrac{t}{x} + \dfrac{x}{t}\right) .$

$(4)$ $P\left (f(t), \dfrac{t}{f(t)} \right ): f(f(t) + 1) = f(t) f\left (\dfrac{t}{f(t)} + \dfrac{f(t)}{t} \right ) \implies f\left (t + \dfrac 1t \right )= f \left (\dfrac{f(t)}{t} + \dfrac{t}{f(t)} \right ) $ используя $(1)$.

Случай 1. $f$ $-$ не инъективная, пусть $x_1 > x_2$ и $f(x_1) = f(x_2)$. Из $(3)$ получаем, что

\[ f(2) = f\left (a + \dfrac 1a \right )\text{ для } a =\dfrac {x_1}{x_2} > 1. \]

Докажем, что $f$ фиксирована на $[2, +\infty)$. Понятно, что на $\left[2, a+\dfrac 1a \right]$ она фиксирована в силу не убывания.

Из $(3)$ следует, что для всех $p,q \in \left[2, a+\dfrac 1a \right]$ и $x>0$ верно \[ f\left (\dfrac px + \dfrac xp \right )= f \left (\dfrac qx + \dfrac xq \right )\]

Пусть $p = 2, q = a + \dfrac 1a$ и $x = aq$, тогда

\[ f\left (\dfrac{a^2+1}{2} + \dfrac{2}{a^2+1} \right )= f\left (a + \dfrac 1a \right) . \]

Рассмотрим последовательность $\{a_n\}$ такую, что $a_0 = a > 1$ и $a_{n+1} = \dfrac{a_n^2 + 1}{2}$. Заметим, что это строго возрастающая последовательность. Если она ограничена сверху, то существует предел

\[ L = \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n^2 + 1}{2} = \dfrac{L^2 + 1}{2} \implies L = 1 \implies \varnothing. \]

Значит функция $f$ фиксирована на $[2, +\infty)$. Теперь подставим достаточно большое $x$ в $(3)$, откуда $f(t) = 1$, то есть $f(x) \equiv 1$.

Случай 2. $f$ $-$ инъективная. Тогда из 4) получаем

\[ t + \dfrac 1t = \dfrac{f(t)}{t} + \dfrac{t}{f(t)} \iff f(t)^2 - (1 + t^2)f(t) + t^2 = 0 \implies f(t) = t^2 \text{ или } 1. \]

Из инъективности только $f(1) = 1$, откуда $f(x) \equiv x^2$.