Областная олимпиада по математике, 2007 год, 10 класс

$*$ — операция, заданная на ненулевых действительных числах, удовлетворяющая условиям:
1) $a * a = 1$ для любого $a \neq 0$;
2)$a * (b* c) = (a * b) c$ ($a * b$ справа обычно умножается на $c~$) для любых $a\neq 0$, $b\neq 0$, $c\neq 0$.
Решите уравнение $x*36 = 216$.

Комментарий/решение

Ответ: $x=7776$.

Пусть $a=b=c$, тогда использовав второе тождество операции "*", имеем

$$a*(a*a)=(a*a)a$$

$$a*1=a$$.

Пусть $b=c$, тогда использовав второе тождество операции "*", имеем

$$a*(b*b)=(a*b)b$$

$$a*1=a=(a*b)b$$

$$\frac{a}{b}=a*b$$, следовательно $x*36=\frac{x}{36}=216$, следовательно $x=7776$.