Областная олимпиада по математике, 2007 год, 10 класс

$0 < a_1 < \dots < a_n$ — заданные числа. Решение неравенства $$ \frac{{a_1 }} {{x + a_1 }} + \frac{{a_2 }} {{x + a_2 }} + \dots + \frac{{a_n }} {{x + a_n }} \geq 1 $$ составляет объединение нескольких непересекающихся промежутков. Найдите сумму их длин.

Комментарий/решение

$\textbf{Решение:}$

Рассмотрим функцию $$ f(x)=\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{x+a_k}.$$

Область определения этой функции есть объединение полупрямых $(-\infty,-a_n),(-a_1, +\infty)$ и интервалов $(-a_n,-a_{n-1}), (-a_{n-1},-a_{n-2}),...,(-a_{2},-a_{1}).$

Очевидно на каждом из промежутков функция $f$ непрерывна и монотонно убывает: от $0$ до $-\infty$ и от $+\infty$ до $0$, соответственно, на полупрямых и от $\infty$ до $-\infty$

на интервалах. Следовательно, на каждом промежутке, кроме $(-\infty,-a_n)$ , она принимает значение ровно в одной точке.Обозначим эти точки в порядке возростания через $\xi_1,\xi_2,...,\xi_n$ , тогда множество решении неравенства есть объединение полуинтервалов $(a_k,\xi_k],\quad k=1,2,...,n.$ Числа $\xi_1,\xi_2,...,\xi_n-$ это корни многочлена

$$ Q_{n-1}(x)=\prod_{k=1}^n(x-a_k)-\sum_{k=1}^na_k\prod_{j\ne k}(x-a_j).$$

По теореме Ф. Виета их сумма равна коэффициенту при $x^{n-1}$ со знаком минус:

$$ \sum_{k=1}^n\xi_k=2\sum_{k=1}^na_k.$$

Следовательно сумма длин полуинтервалов равна

$$ \sum_{1\leq k \leq n} (\xi_k-a_k)=\sum_{1\leq k \leq n} a_k.$$