Математикадан облыстық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 11 сынып

$n$ — натурал сан, $p$ — жай сан және $(n+1)^p-n^p$ саны $q$ натурал санына қалдықсыз бөлінеді. $(q-1)$ саны $p$ санына қалдықсыз бөлінетінін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Пусть $q_1$ произвольный простой делитель числа $q$, тогда $(n+1)^p \equiv n^p$ $mod$ $q_1$, и так как $(n,n+1)=1$ $$\left(\frac{n+1}{n}\right)^p \equiv 1 \, mod \, q_1$$

Но, из МТФ следует, что $\left(\frac{n+1}{n}\right)^{q_1-1} \equiv 1 \, mod \, q_1$. Значит $p | q_1-1$. Тогда каждый простой делитель $q$ будет $q_1 \equiv 1$ $mod$ $p$, откуда $q \equiv 1 \, mod \, p$