Областная олимпиада по математике, 2007 год, 11 класс

Найдите все функции $f: [0, +\infty)\rightarrow [0, +\infty)$, которые удовлетворяют условиям:
а) для любых $x, y\in [0, +\infty)$ с условием $x + y > 0$ выполняется равенство $f\left( {xf(y)} \right) \cdot f(y) = f\left( {\frac{{xy}}{{x + y}}} \right)$;
б) $f(1) = 0$;
в) $f(x) > 0$ для любого $x > 1$.

Комментарий/решение

$$ \textbf{Шешуі:}$$

$$ \mathbb{Q}(x,y): f(xf(y))\cdot f(y)=f \left( \frac{xy}{x+y} \right)$$

$$\textbf{1)} f \text{ функциясының иньективті болады.}$$

$$ \begin{cases} Q(2x,2x): f(2xf(2x))\cdot f(2x) = f(x) \\ Q(2y,2y): f(2yf(2y))\cdot f(2y) = f(y) \end{cases} \Rightarrow f(x)=f(y) \Leftrightarrow x=y$$

$$\color {red}{ \textbf{a)}} x \in (0,1)\cup (1,+\infty) \Rightarrow y=\frac{x}{x-1}\Rightarrow$$

$$ \Rightarrow Q\left(x,\frac{x}{x-1}\right): \quad f\left(xf\left(\frac{x}{x-1}\right)\right)\cdot f\left(\frac{x}{x-1}\right) =f(1)$$

$$ \color {red}{ \textbf{b)}} f\left(xf\left(\frac{x}{x-1}\right)\right)\cdot f\left(\frac{x}{x-1}\right) =f(1)=0 \Rightarrow$$

$$ \Rightarrow f\left(xf\left(\frac{x}{x-1}\right)\right)\cdot f\left(\frac{x}{x-1}\right) =0$$

$$\text{ Функцияның иньективті екенін ескерcек, мына жағдайларды қарастырамыз:}$$

$$ \textbf{1)} f\left(\frac{x}{x-1}\right) =0=f(1)\Rightarrow \frac{x}{x-1} \ne 1 \Rightarrow f\left(\frac{x}{x-1}\right) \ne 0$$

$$ \textbf{2)} f\left(xf\left(\frac{x}{x-1}\right)\right)=0=f(1)\Rightarrow xf\left(\frac{x}{x-1}\right)=1 \Rightarrow$$

$$ f\left(\frac{x}{x-1}\right)=\frac{1}{x}$$

$$ \frac{x}{x-1}=t \Rightarrow x =\frac{t}{t-1} \Rightarrow f(t)=\frac{t-1}{t}=1-\frac{1}{t}$$

$$ \color {red}{ \textbf{c)}} f(x) =\frac{x-1}{x}>0 \Rightarrow \begin{cases} (x-1)x>0 \\ D_f\in[0,\infty) \end{cases} \Rightarrow x>1$$

$$ \color {red}{ \textbf{(a),(b),(c)}} \Rightarrow f(x)=\begin{cases} 0 , \quad \text{егер} \quad x\in [0,1) \\ \frac{x-1}{x} , \quad \text{егер} \quad x\in [1,\infty) \end{cases} $$

$$ \textbf{Жауабы:} f(x)=\begin{cases} 0 , \quad \text{егер} \quad x\in [0,1) \\ \frac{x-1}{x} , \quad \text{егер} \quad x\in [1,\infty) \end{cases} $$