Областная олимпиада по математике, 2008 год, 9 класс

Пусть $M$ — точка внутри треугольника $ABC$. Известно, что $\angle BAC=70^\circ $, $\angle ABC=80^\circ $, $\angle ACM=10^\circ $, $\angle CBM=20^\circ $. Докажите, что $AB=MC$.

Комментарий/решение

Из условия следует что $BM=CM$ и $\angle BMC = 2\angle BAC = 140$ , то есть $M$ центр описанной окружности , значит $BM=AM=CM$ и треугольник $ABM$ равносторонний , так как $\angle AMB = 2 \cdot 30^{\circ}=60^{\circ}$ , то есть $AB=BM=AM=CM$