Областная олимпиада по математике, 2008 год, 9 класс

Определите все пары натуральных чисел $(x, y)$ таких, что $$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{[x,y]}} + \frac{1}{{(x,y)}} = \frac{1}{2}, $$ где $(x, y)$ — наибольший общий делитель чисел $x, y$ и $[x, y]$ — наименьшее общее кратное чисел $x, y$.

Комментарий/решение

Подсказка: пусть $(x,y)=k$, тогда найдутся натуральные числа $l,m$ такие что: $x=kl$,$y=km$ и $[x,y]=klm$ (так как $(m,l)=1$). Тогда данное уравнение эквивалентна:

$2lm+2m+2l+2=klm$